عناصر المعرفة الرياضية
لم يعد تقسيم المعرفة الرياضية إلى فروعها التقليدية: الحساب
والجبر والهندسة والمثلثات... مقبولا في هذه الفترة، حيث جرت محاولات لتصنيف هذه
المعرفة إلى مكوناتها بصورة تظهر فيها وحدة البناء الرياضي بدمج هذه الفروع بعضها
ببعض بشكل يتضح فيها البنية الهرمية للمعرفة الرياضية. وقد أثرت أعمال الكثيرين من
التربويين الرياضيين هذا المجال أدت بالنتيجة إلى تحديد أنماط للمعرفة الرياضية
تضمنها المنهاج الرياضي المدرسي، ومن هذه الأنماط هي: المفاهيم والمصطلحات،
المبادئ والتعميمات، الخوارزميات والمهارات، التطبيقات والمسائل الرياضية، ( أبو
زينة وعبابنة، 2007 ).
أولاً: المفاهيم الرياضية
تعتبر المفاهيم الرياضية أساس البناء الرياضي، حيث تعتمد عناصر
المعرفة الرياضية الأخرى كالتعميمات والمهارات على المفاهيم في تكوينها واستيعابها
واكتسابها.
تعريف المفهوم ( Concept
)
لا يوجد تعريف متفق عليه للمفهوم، وجرت محاولات عديدة من قبل
العلماء لتعريف المفهوم، إلا أنهم وجدوا صعوبة في الاتفاق على ذلك، واختلفوا في
تعريفاتهم.
ومن
هذه التعريفات:
·
المفهوم: هو صورة ذهنية مجردة تتكون لدى الفرد نتيجة تعميم صفات
وخصائص استنتجت من أشياء متشابهه هي أمثلة ذلك المفهوم ( أبو زينة وعبابنة، 2007
).
·
المفهوم هو الصفة المجردة المشتركة بين جميع أمثلة ذلك
المفهوم. ومن الأمثلة على المفاهيم الرياضية: العدد، النقطة، المربع، الزاوية،
الجمع...
·
مجموعة الإسناد للمفهوم: هي مجموعة الأشياء التي يحددها
المفهوم.
مثال:
مجموعة الإسناد لمفهوم العدد الزوجي هي { 2، 4، 6، 8، 10، ...} أي أن كل عنصر من
هذه المجموعة يعتبر مثالاً لمفهوم العدد الزوجي.
إن لكل مفهوم سمة مميزة ( خاصية حرجة ) أو أكثر، وهي الصفة أو
السمة التي تتوفر في جميع الأمثلة الدالة على المفهوم، إن السمة المميزة للمربع
مثلا هي شكل رباعي أضلاعه متساوية وزواياه قوائم... وهناك أشكال عدة تدعى مربعات
تختلف في مساحاتها أو أطوال أضلاعها وفي الأوضاع التي تظهر فيها.
أما الصفة غير المميزة ( المتغيرة أو غير الحرجة ) للمفهوم فهي
تلك الصفة التي لا تتوافر في جميع أمثلة المفهوم. إن السمة المميزة لمتوازي
الأضلاع هي شكل رباعي مغلق يتوازى كل ضلعين متقابلين فيه، أما السمات غير الحرجة
فهي زواياه الداخلية وأطوال أضلاعه، واتساع الشكل أو مساحته.
تصنيفات المفاهيم
هناك تصنيفات عدة للمفاهيم، فالمفاهيم قد تكون حسية أو مجردة،
وقد تكون مفردة أو عامة، كما يمكن أن تكون دلالية أو وصفية، بالإضافة إلى بعض
التصنيفات الأخرى ونورد فيما يلي بعض هذه التصنيفات ( أبو زينة وعبابنة، 2007 ):
1. المفاهيم الدلالية بالمقارنة مع المفاهيم المميزة ( الوصفية ):
المفاهيم الدلالية هي المفاهيم التي تستخدم للدلالة على شئ ما
مثل مفهوم عدد أولي، أو عدد زوجي، وهناك أمثلة كثيرة على الأعداد الأولية مثل 7،
13، 31 ... الخ ومجموعة الأشياء التي يحددها مفهوم دلالي، تسمى مجموعة الإسناد أو
مجموعة المرجع للمفهوم.
أما المفاهيم الوصفية فهي المفاهيم التي تحدد خصائص معينة تتصف
بها مجموعة من الأشياء كمفهوم الخاصية التجميعية لمجموعة وعملية على المجموعة، أو
مفهوم خاصية الإغلاق، وغير ذلك.
2.
المفاهيم الحسية والمفاهيم المجردة:
يمكن تصنيف المفاهيم إلى مفاهيم حسية، ومفاهيم مجردة. والمفهوم
الحسي هو المفهوم الذي عناصر مجموعة إسناده أشياء مادية، أي أشياء يمكن ملاحظتها
أو مشاهدتها كمفهوم المربع، أو المستطيل، أو المكعب أو الهرم.
أما المفهوم المجرد فهو مفهوم دلالي غير حسي، حيث لا يمكن
ملاحظة أو مشاهدة عناصر مجموعة الإسناد للمفهوم، ومن أمثلة ذلك العدد النسبي،
النسبة التقريبية، المضاعف المشترك، النسبة وغيرها.
3- المفاهيم
المعرّفة والمفاهيم غير المعرفة:
أ-
المفهوم المعرف هو الذي يمكن التعبير
عنه بصياغات لفظية شارحة (مفسّرة) بدلالة مفاهيم أخرى أبسط منها أو سبق تعريفها
وتوضيحها. فمثلاً يُعرّف المستطيل بأنه: شكل رباعي جميع زواياه قوائم. فجميع
المصطلحات المستخدمة في التعريف تكون معروفة من قبل، فالمفاهيم الواردة في
التعريف: الشكل الرباعي، الزاوية، الزاوية القائمة كلها معروفة وواضحة.
ب- المفاهيم غير
المعرفة(اللا معرفة) وهي المفاهيم التي تقبل بدون تعريف، ولكنه يتمّ تحديد بعض
خواصها، أي أن المفاهيم غير المعرفة لا
يمكن إيجاد عبارة تصف المفهوم وصفاً محددا. ومن أمثلة المفاهيم غير المعرفة :
النقطة، المستقيم، المستوي، ...........
نشاط (1): اختر أحد الدروس الواردة في كتاب الطالب لأحد
الصفوف: الرابع، الخامس، السادس. ثم حدد المفاهيم الواردة في الدرس. وصنّف كل منها
حسب نوع المفهوم.
تدريس المفاهيم الرياضية:
المفاهيم الرياضية هي اللبنات أو
الركائز الأساسية التي تُبنى عليها المعرفة الرياضية. إن اكتساب الطالب للمفاهيم
الرياضية يشكّل جزءاً من عملية تعليم الرياضيات داخل الصف الدراسي. وهناك عدد من
الإجراءات أو التصرفات التي يقوم بها المعلم لتعليم الطلاب المفاهيم الرياضية. هذه
الإجراءات أو التصرفات تسمى تحركات تدريس المفاهيم. وفيما يلي عرض لأبرز تلك
التحركات:
1- تحرك التعريف: في هذا الإجراء يقوم المعلم بإعطاء
المفهوم (اسم المفهوم - المصطلح) تفسيراً وشرحاً لغوياً يوضح معناه. ويعد تحرك
التعريف من أكثر التحركات شيوعاً في الاستعمال وسهولة في الاستخدام، وأكثرها دقة
في تحديد المفهوم. ولكن في الوقت نفسه يعد تحرك التعريف من التحركات الصعبة على
التلاميذ خاصة في المراحل المبكّرة، مما يجعلهم يلجأون لحفظ التعريفات دون فهم،
وبالتالي لا يستطيعون توظيف هذه المفاهيم واستخدامها.
وعلى الرغم من أهمية التعريف ودوره في
تحديد المفهوم وتوضيحه، إلا أنه ليس ضرورياً في تكوين المفهوم ولا في استخدامه،
طالما أن المفهوم موضحاً بطرق إجرائية وأمثلة توضيحية. أي أن عملية إعطاء تعريف
للمفهوم يعتمد على المستوى الدراسي للطالب، وعلى المستوى العقلي واللغوي، ومدى
تجريد المفهوم نفسه، ولكن يظل إعطاء تعريف للمفهوم مطلباً أساسياً وخاصة في
المراحل العليا.
2- تحرك المثال: في هذا النوع من التحركات يقوم المعلم
بتقديم (إعطاء) مثال أو أكثر على المفهوم، على أن تتوفر في كل مثال جميع خصائص
المفهوم. فمثلاً عند تدريس مفهوم العدد الأولي يعطي المعلم أمثلة على العدد الأولي
مثل: 2، 3، 5، 7، 11، 13، ...
3- تحرك اللا مثال: يقصد باللا مثال الحالة أو النموذج
التي لا يتوفر فيها خاصية أو أكثر من خصائص المفهوم. وتحرك اللامثال يعني تقديم
مثال أو أكثر لا ينتمي للمفهوم، أي أنها أمثلة عدم انتماء للمفهوم. فمثلاً في
مفهوم العدد الزوجي(العدد الذي يقبل القسمة على اثنين بدون باقً) تكون الأعداد: 3
، 7 ، 49 لا أمثلة على مفهوم العدد الزوجي. وفي مفهوم المضلع: الأشكال التالية
عبارة عن لا أمثلة على المضلع:
استراتيجيات تعليم (تدريس) المفاهيم الرياضية:
المقصود بالإستراتيجية هنا مجموعة متتابعة
من التحركات التي يقوم بها المعلم والتلاميذ أثناء تعليم وتعلّم المفهوم الرياضي.
ومن الاستراتيجيات الشائعة في تدريس المفاهيم الرياضية ما يلي:
1- إستراتيجية:
تعريف – أمثلة انتماء – أمثلة عدم انتماء (لا أمثلة).
في هذه الإستراتيجية يبدأ المعلم بتعريف المفهوم ثم
يقدّم أمثلة توضّح التعريف، ثم تأتي مرحلة اللا أمثلة؛ لتمكّن الطالب من التمييز بين الأشياء المنتمية
للمفهوم وغير المنتمية له.
2- إستراتيجية:
تعريف – أمثلة انتماء.
3- إستراتيجية: أمثلة انتماء – تعريف.
4- إستراتيجية: أمثلة انتماء – أمثلة عدم انتماء -
تعريف.
5- إستراتيجية:
أمثلة انتماء – أمثلة عدم انتماء (أو العكس).
6- إستراتيجية: أمثلة انتماء.
تقويم (قياس) مدى إتقان (فهم) الطالب للمفهوم:
حدد بعض المتخصصين في تعليم الرياضيات
نماذج أو معايير يتم من خلالها الحكم على مدى إتقان الطالب للمفهوم الرياضي. حيث
يتضمن النموذج عدداً من الأعمال أو الإجراءات أو المعايير السلوكية التي يجب أن
يقوم بها المتعلم. والجدول التالي يوضح بعض الإجراءات أو المعايير التي يتضمنها
أحد نماذج تقويم إتقان المفهوم الرياضي:
|
م
|
المعطى للطالب
|
الإجراء أو السلوك الذي يقوم به الطالب
|
|
1
|
إذا أُعطي اسم المفهوم (المصطلح).
|
يعطي مثالاً مناسباً عليه – ومثالاً
لا ينطبق عليه (لا مثال)
|
|
2
|
إذا أُعطي مثالاً على المفهوم
|
يحدد اسم المفهوم (المصطلح)
|
|
3
|
إذا أعطي اسم المفهوم
|
يقدم تعريفاً للمفهوم
|
|
4
|
إذا أُعطي تعريف المفهوم
|
يحدد اسم المفهوم
|
|
5
|
إذا أعطي اسم المفهوم
|
يحدد الصفة المرتبطة بالمفهوم – ويحدد
صفة لا ترتبط بالمفهوم.
|
كما أن قدرة الطالب على اختيار مثالاً
على المفهوم من بين مجموعة من الأمثلة المتنوعة، وتبرير عدم انتماء مثال أو حالة
للمفهوم، والتعرف على أوجه التشابه والاختلاف بين المفاهيم المتشابهة في بعض
الخصائص تعتبر من الإجراءات التي تدل على إتقان الطالب للمفهوم.
ثانياً: المبادئ والتعميمات الرياضية
التعميم الرياضي هو علاقة بين مفهومين أو أكثر من المفاهيم
الرياضية.
ويعرّف
التعميم الرياضي أيضاً بأنه: عبارة لفظية أو صيغة رمزية تربط بين مفهومين أو أكثر،
تبرز فيها العلاقات التي تربط بين المفاهيم المكوّنة للتعميم..
ويمكن تعريف التعميم الرياضي بأنه: عبارة عن جملة خبرية (
تقرير) تحدد علاقة بين مفهومين أو أكثر، وهذه العلاقة يمكن برهنتها أو استنباطها
أو استقرائها أو التسليم بصحتها. ويشمل التعميم كلاً من: الحقيقة، النظرية،
المبدأ، القانون، القاعدة، المسلمة، البديهية.
ومن الأمثلة على التعميمات الرياضية ما
يلي:
• 5×7=
35 (حقيقة).
• ا
كجم = 1000جم ( حقيقة).
• مجموع
قياسات الزوايا الداخلية في المثلث تساوي 180 5
( نظرية).
• أ
م × أ ن = أ م+ن (قانون).
• (أ
2 - ب2) = (أ + ب ) (أ - ب).
قاعدة.
• كل
نقطتين مختلفتين في المستوي تحددان مستقيماً واحداً فقط( مسلمة).
• الكل
أكبر من الجزء (بديهية).
نشاط (2): بالعودة إلى الدرس في نشاط (1) حدد التعميمات
الواردة في الدرس.
تدريس التعميمات الرياضية:
يتمّ تدريس التعميمات الرياضية غالباً بطريقتين:
الطريقة
الأولى- العرض: تدريس التعميمات وفق هذه الطريقة يسير حسب الخطوات التالية:
1-
التقديم: حيث يعطي المعلم مقدمة تمهيدية عن التعميم المراد تدريسه، تتضمن هذه
المقدمة اسم (عنوان) التعميم، أو الهدف من تعلمه، أو إقناع التلاميذ بأهميته
ٌلإيجاد دافع لديهم للتعلم.
2-
صياغة التعميم: في هذه الخطوة يقدّم المعلم نص التعميم، وقد تكون الصياغة لفظية أو
رمزية.
3-
إعطاء أمثلة: حيث يقدم المعلم مثالاً أو أكثر على التعميم واستخداماته.
4-
التفسير: في هذه الخطوة يوضح المعلم
المفاهيم والأفكار التي يتضمنها التعميم.
5-
التبرير: في هذه الخطوة يقوم المعلم بتقديم الدليل على صحة التعميم بالوسيلة
المناسبة للطلاب كالبرهنة أو الأشكال أو الطرق العملية.
الطريقة
الثانية- الاكتشاف الموجّه: يتمّ في هذه الطريقة تأخير خطوة صياغة التعميم إلى
المرحلة الأخيرة، حيث إن المعلم بعد خطوة التمهيد يقدم أو يهيئ للطلاب عدداً من
الأمثلة والنشاطات التي يصل من خلالها الطلاب إلى اكتشاف التعميم بأنفسهم من خلال
عمليات الاستقراء أو الاستنتاج.
فمثلاً
لتدريس التعميم: حاصل ضرب عددين أحدهما فردي والآخر زوجي ، يكون عدداً زوجياً.
يقدم
المعلم بعد التمهيد الأمثلة التالية ويطلب من الطلاب حلها:
1×2=
10×9=
3×4=
5×12=
7×6=
4×7=
من
خلال الأمثلة السابقة نستنتج أن:
حاصل
ضرب عدد ........ في عدد .......... يكون عدداً .............
قياس ( تقويم) إتقان التعميمات
الرياضية:
يمكن
للمعلم التأكد من إتقان الطالب للتعميم الرياضي من خلال قدرة الطالب على القيام
ببعض الإجراءات، منها:
1- فهم المفاهيم والمصطلحات الواردة في
التعميم.
2- صياغة التعميم بلغة الطالب الخاصة.
3- تقديم الطالب أمثلة وحالات خاصة على
التعميم.
4- بيان صحة التعميم.
5-
استخدام التعميم في مواقف جديدة (غير مألوفة).
ثالثاً: الخوارزميات والمهارات الرياضية
بالإضافة إلى المفاهيم والتعميمات الرياضية التي يتضمنها
المنهاج، يتعلم الطالب كيف يجمع عددين كل منهما من منزلتين، أو كيف يقسم عدداً على
أخر مكون من منزلتين، أو كيف يرسم مثلثاً علمت أطوال أضلاعه الثلاثة، وغيرها. مثل
هذه المعرفة يقال لها مهارات، والطالب في قيامه بكل هذه الأعمال يستند إلى طريقة
ما أو إجراءات معينة تسمى خوارزميات.
والخوارزمية هي الطريقة الروتينية للقيام بعمل ما، أما المهارة
فهي القيام بالعمل بسرعة وإتقان. وغالباً ما يرتبط هذا العمل بخوارزمية تحدد أسلوب
العمل وإجراءاته. ومن الأمثلة على الخوارزميات:
خوارزمية ضرب عددين، خوارزمية قسمة عدد على أخر، خوارزمية
إيجاد القاسم المشترك الأعظم لعددين أو أكثر، خوارزمية إقامة عمود على قطعة
مستقيمة عند نقطة معينة. ومن الخصائص المميزة للمهارة السرعة والدقة والإتقان في
الأداء. ويلعب تعليم المهارات دوراً مهماً في تدريس الرياضيات، فإذا لم يطور
الطالب ويحسن مهارته في أداء بعض الأعمال ويكتسب بعض المهارات فان ذلك سيعيق تعلم
الرياضيات.
ويعتبر الكثيرون وخاصة أولياء الأمور أن تعلم الرياضيات هو
اكتساب المهارات الأساسية خصوصاً في مجال الأعداد والترقيم والعمليات الحسابية
الأربعة على الأعداد والكسور، علاوة على بعض المهارات الأخرى في الهندسة والجبر.
ويعتقد البعض أن تعلم المهارات الرياضية أضحى غير ضروري هذه
الأيام بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة وانتشارها السريع. ومع الاقتناع
بالدور الذي تلعبه الآلات الحاسبة والكومبيوتر في وقتنا الحالي، إلا أن تدريس
المهارات الرياضية واكتسابها لا يزال ضرورياً وهاماً لعدة أسباب منها ( أبو زينة
وعبابنة، 2007 ):
1. اكتساب المهارة وإتقانها يساعد
المتعلم على فهم الأفكار والمفاهيم الرياضية فهماً واعياً، فإذا كان المتعلم
متمكناً من الحسابات بشكل جيد، فإن ذلك سيتيح له فرصة أفضل لأنه يوجه تفكيره
واهتماماته بالمسائل والمواقف التي يواجهها.
2.
بعض المواقف لا تحتاج إلى آلة حاسبة، فقد تحتاج إلى حسابات أولية تعتمد على مهارة
الفرد وقدرته على إجراء الحسابات ذهنياً، واللجوء إلى الآلة الحاسبة باستمرار يعطل
التفكير، ويصيبه بالركود والخمول.
3.
اكتساب المهارات يسهل أداء كثير من الأعمال الحياتية واليومية للفرد في البيت
والعمل والتعامل مع الآخرين بسهولة ويسر، كما يزيد من قدرة الفرد على القيام
بأنشطة متنوعة.
4.
إتقان المهارات يتيح الفرصة للمتعلم لأن يوجه تفكيره وجهده ووقته بشكل أفضل في المسائل
والمواقف التي يواجهها، وبالتالي تسهل عليه حل المشكلات حلاً علمياً سليماً، وتنمي
قدرة المتعلم على حل المسائل والمشكلات.
5.
القيام بالمهارات واكتسابها تزيد من معرفة المتعلم وإلمامه بخصائص الأعداد
والعمليات عليها، وتعمق فهمه للنظام العددي والترقيم والبنية الرياضية.
وترتبط المهارات الرياضية بالمكونات الأخرى للمعرفة الرياضية،
حيث يتناول منهاج الرياضيات في المرحلة الأساسية أو الابتدائية عدداً كبيراً من
المفاهيم ينصب الاهتمام في تدريسها على المهارة في استخدامها أو إجراء الحسابات
المرتبطة بها أكثر من شئ أخر، ومن هذه المفاهيم:
·
مفاهيم العمليات الحسابية كالجمع والطرح والضرب والقسمة، مفهوم
الجذر التربيعي والنسبة، مفهوم القاسم المشترك والمضاعف المشترك.
أما فيما يتعلق بالتعميمات الرياضية، فإن التعميمات الرياضية
في الحساب تدرس لغرض استخداماتها المباشرة وتطبيقاتها الأخرى. واستخدام هذه
التعميمات بشكل مباشر يتطلب اكتساب هذه التعميمات من خلال إجراء الحسابات، هذا مع
العلم بأن اكتساب مهارة إجراء الحسابات على هذه التعميمات يفيد أيضاً في
استخداماتها في مواقف أخرى غير مباشرة.
ومن
أمثلة هذه التعميمات:
·
قانون توزيع الضرب على الجمع في الأعداد الصحيحة، خاصية
الإبدال في جمع أو ضرب الأعداد، قوانين المساحات والحجوم. ومن الأمثلة على
الخوارزميات:
·
خوارزمية ضرب الأعداد، أو خوارزمية قسمة عدد على أخر، خوارزمية
استخراج القاسم المشترك الأعظم أو المضاعف المشترك الأصغر، وغيرها.
أما فيما يخص المهارات الرياضية، فإن أهم ما يميز هذا النوع من
المهارات هو اعتمادها بدرجة كبيرة على القدرات العقلية للطفل عند قيامه بالمهارة،
وقد يتخلل أداء هذه المهارة اعتماد الطفل على الجانب الحركي ولكن بدرجة قليلة، ومن
الأمثلة على المهارات العقلية:
حل
المسألة الرياضية، ترتيب الأعداد، إجراء العمليات الحسابية ذهنياً.
رابعاً: المسائل الرياضية
يعتبر حل المسألة الرياضية من أهم الموضوعات التي شغلت
العاملين في مجال تدريس الرياضيات والمهتمين بها وبطرق تدريسها منذ فترة طويلة،
وحتى وقتنا الحاضر هذا. والمسألة موقف جديد ومميز يواجه المتعلم ولا يكون له حل
جاهز لدى المتعلم في حينه (أبو زينة، 1994). والشائع عند المتعلمين أن المسائل
الرياضية هي مسائل كلامية تطبق فيها المبادئ والتعميمات الرياضية بالإضافة إلى
العمليات الحسابية، والسؤال الذي يطرح نفسه:
هل
كل مسألة كلامية هي مسألة رياضية؟ وهل يقتصر مصطلح المسألة الرياضية على المسائل
الكلامية فقط؟.
إن المسألة هي موقف جديد يواجه المتعلم ويحتاج إلى حل، حيث لا
يرى الفرد طريقاً واضحاً أو ظاهراً للتوصل إلى الحل المنشود في حينه، فيحتاج
الموقف من المتعلم أن يفكر فيه، ويحلله، ومن ثم يستخدم ما تعلمه سابقاً ليتمكن من
حله.
وليس كل مسألة كلامية هي مسألة رياضية، كما لا تقتصر المسائل
الرياضية على المسائل الكلامية فقط، إن اعتبار سؤال ما مسألة رياضية يعتمد على
مستوى المعرفة والخبرة التي يمتلكها الفرد، وما هو مسألة عند فرد معين لا يكون
كذلك عند فرد أخر، أو عند نفس الفرد في وقت لاحق. إن المسائل الكلامية التي يحلها
الأفراد بشكل روتيني، ومباشر لقاعدة معينة درسها الطلاب لا تعتبر مسائل رياضية.
مع تحيات موقع ادرس التعليمي
